Если дифференцируемые функции y1=y1(x) и y2=y2(x) линейно зависимы на (a,b), то определитель Вронского равен …

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения определитель Вронского дифференцируемые функции линейная зависимость математический анализ университетская математика Новый

Если у нас есть две дифференцируемые функции y1 = y1(x) и y2 = y2(x), которые линейно зависимы на интервале (a, b), это означает, что одна функция может быть выражена через другую с помощью некоторого коэффициента. В математике это можно записать как:

y2(x) = k * y1(x)

где k - некоторая константа, которая может зависеть от x, но для линейной зависимости на интервале (a, b) она должна быть постоянной.

Теперь давайте рассмотрим определитель Вронского, который для двух функций y1 и y2 определяется как:

W(y1, y2) = y1 y2' - y2 y1'

где y1' и y2' - производные функций y1 и y2 соответственно.

Так как функции y1 и y2 линейно зависимы, мы можем подставить y2 = k * y1 в определитель Вронского:

1. Подставим y2 в формулу для W:
W(y1, y2) = y1 * (k * y1)' - (k * y1) * y1'
2. Теперь вычислим производную (k * y1)':
(k * y1)' = k * y1'
3. Подставим это в определитель:
W(y1, y2) = y1 * (k * y1') - (k * y1) * y1'
4. Упростим выражение:
W(y1, y2) = k * y1 * y1' - k * y1 * y1' = 0

Таким образом, мы видим, что определитель Вронского равен нулю:

W(y1, y2) = 0

Это подтверждает, что если две функции линейно зависимы, то их Вронский определитель равен нулю.