Если y = f(x) – … функция на отрезке [a; b], то определенный интеграл ∫ f(x)dx существует

Другие предметы Университет Определенный интеграл определенный интеграл функция на отрезке математический анализ y = f(x) интегралы в математике существование интеграла Новый

Чтобы понять, при каких условиях определенный интеграл ∫ f(x)dx существует, давайте рассмотрим несколько ключевых моментов:

1. Определение интеграла: Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a; b] представляет собой предел суммы площадей под графиком функции, когда количество подынтервалов стремится к бесконечности.
2. Условия существования: Определенный интеграл существует, если функция f(x) является:
• Непрерывной на отрезке [a; b].
• Может иметь конечное число разрывов, при этом все эти разрывы должны быть в пределах отрезка [a; b].
• Лимитируемой, то есть не должна стремиться к бесконечности на отрезке [a; b].
3. Пример: Рассмотрим функцию f(x) = 1/x на отрезке [1; 2]. Эта функция непрерывна и не имеет разрывов на данном отрезке, следовательно, интеграл ∫ f(x)dx существует.
4. Пример с разрывом: Теперь рассмотрим функцию g(x) = 1/x на отрезке [0; 1]. Здесь функция имеет разрыв в точке x = 0, и интеграл ∫ g(x)dx не существует, так как функция стремится к бесконечности.

Таким образом, чтобы утверждать, что определенный интеграл ∫ f(x)dx существует, необходимо проверить непрерывность функции на заданном отрезке и наличие разрывов. Если функция удовлетворяет этим условиям, то интеграл можно вычислить.