Чтобы определить, является ли функция однородной, необходимо проверить, удовлетворяет ли она свойству однородности. Функция f(x, y) называется однородной степени k, если для любого λ выполняется следующее равенство:

• f(λx, λy) = λ^k * f(x, y)

Давайте проверим это для данной функции f(x, y) = (2x − y²) / (x² + y²).

1. Подставим λx и λy вместо x и y в функцию:
• f(λx, λy) = (2(λx) − (λy)²) / ((λx)² + (λy)²)
2. Упростим выражение:
• Числитель: 2λx − λ²y² = λ(2x) − λ²y²
• Знаменатель: λ²x² + λ²y² = λ²(x² + y²)
3. Запишем функцию в новой форме:
• f(λx, λy) = (λ(2x) − λ²y²) / λ²(x² + y²)
4. Упростим дробь:
• f(λx, λy) = λ(2x) / λ²(x² + y²) − λ²y² / λ²(x² + y²)
• f(λx, λy) = (λ/λ²)(2x/(x² + y²)) − (λ²/λ²)(y²/(x² + y²))
• f(λx, λy) = (1/λ)(2x/(x² + y²)) − (y²/(x² + y²))
5. Видно, что f(λx, λy) не представляется в виде λ^k * f(x, y) для какого-либо постоянного k. Это значит, что функция не является однородной.

Таким образом, функция f(x, y) = (2x − y²) / (x² + y²) является неоднородной.