В теории вероятностей функция распределения действительно однозначно задает распределение случайной величины или случайного вектора. Давайте разберем, что это значит и как это работает.

1. Понятие функции распределения

• Функция распределения (или функция накопления вероятностей) для случайной величины X обозначается F(x) и определяет вероятность того, что случайная величина примет значение меньше или равно x. То есть, F(x) = P(X ≤ x).
• Для непрерывной случайной величины функция распределения является непрерывной и монотонно возрастающей функцией, которая принимает значения от 0 до 1.
• Для дискретной случайной величины функция распределения может быть представлена в виде суммы вероятностей для всех значений, меньших или равных x.

2. Однозначность функции распределения

• Каждой случайной величине соответствует единственная функция распределения. Это означает, что если у нас есть функция F(x), то мы можем однозначно определить, какую случайную величину она описывает.
• Если две случайные величины имеют одинаковую функцию распределения, то они имеют одинаковые вероятностные свойства. То есть, они ведут себя одинаково с точки зрения вероятности.

3. Пример

• Рассмотрим случайную величину X, которая имеет равномерное распределение на интервале [0, 1]. Функция распределения для этой величины будет выглядеть следующим образом:
1. Для x < 0: F(x) = 0
2. Для 0 ≤ x ≤ 1: F(x) = x
3. Для x > 1: F(x) = 1
• Эта функция распределения однозначно определяет равномерное распределение на интервале [0, 1].

Таким образом, функция распределения является важным инструментом в теории вероятностей, который позволяет не только описать случайные величины, но и анализировать их поведение и свойства. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!