Исследуйте функцию y=x^3+3x^2на экстремумы

• максимум в точке -2; минимум в точке 0
• максимум в точке 0; минимум в точке -2
• максимум в точке 2; минимум в точке 0

Другие предметы Университет Экстремумы функций высшая математика экстремумы функции исследование функции максимум и минимум университетская математика анализ функции производная функции точки экстремума функции третьей степени математический анализ Новый

Чтобы исследовать функцию y = x^3 + 3x^2 на экстремумы, нам нужно выполнить несколько шагов: найти производную функции, определить критические точки и провести анализ знака производной.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Для функции y = x^3 + 3x^2, производная будет:

y' = 3x^2 + 6x.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы приравняем производную к нулю:

3x^2 + 6x = 0.

Вынесем общий множитель:

3x(x + 2) = 0.

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 0
• x = -2

Шаг 3: Определим, являются ли эти точки максимумами или минимумами.

Для этого мы можем использовать второй производной тест. Найдем вторую производную:

y'' = 6x + 6.

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

• Для x = 0: y''(0) = 6(0) + 6 = 6 (положительное значение, значит, это минимум).
• Для x = -2: y''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 (отрицательное значение, значит, это максимум).

Итак, мы можем сделать следующие выводы:

• В точке x = -2 находится максимум.
• В точке x = 0 находится минимум.

Таким образом, правильный ответ: максимум в точке -2; минимум в точке 0.