Чтобы найти момент инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, мы можем воспользоваться определением момента инерции и интегрированием.

Определение момента инерции: Момент инерции I относительно оси вращения определяется как сумма (или интеграл) произведений массы каждого элемента тела на квадрат расстояния от этого элемента до оси вращения.

Для диска, который имеет равномерную плотность, мы можем использовать следующую последовательность шагов:

1. Определение плотности: Плотность диска (ρ) определяется как масса (m) деленная на объем (V). Для диска объем можно представить как площадь основания умноженную на толщину, но в нашем случае мы будем считать диск плоским, поэтому:
• Площадь диска S = πr².
• Плотность ρ = m / S = m / (πr²).
2. Параметры интегрирования: Для удобства, будем использовать полярные координаты для интегрирования. Элемент площади dA в полярных координатах равен r' * dr' * dθ, где r' – радиус до элемента площади, а θ – угол.
3. Формула для момента инерции: Момент инерции I можно выразить через интеграл:
• I = ∫ r'^2 * dm.
4. Подстановка dm: Масса элемента dm можно выразить через плотность и элемент площади:
• dm = ρ * dA = ρ * (r' * dr' * dθ) = (m / (πr²)) * (r' * dr' * dθ).
5. Интегрирование: Подставим dm в формулу для момента инерции:
• I = ∫∫ (r'^2 * (m / (πr²)) * (r' * dr' * dθ)),
• где интегрирование по r' от 0 до r и по θ от 0 до 2π.
6. Выполним интегрирование: Сначала интегрируем по θ:
• I = (m / (πr²)) * ∫(0 to 2π) dθ * ∫(0 to r) r'^3 dr'.
• Интеграл по θ дает 2π, а интеграл по r' равен (1/4)r^4. Подставляем:
• I = (m / (πr²)) * (2π) * (1/4)r^4 = (m * r^2) / 2.

Ответ: Таким образом, момент инерции однородного диска массы m и радиуса r относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равен:

I = (1/2) * m * r^2.