Найдите ∫ (2 / x² − 4 / √x + 3∛(x²))dx

Другие предметы Университет Интегрирование функций математический анализ интегралы вычисление интегралов университет учебные материалы задачи по математическому анализу интегралы с корнями интегралы с дробями Новый

Чтобы решить интеграл ∫ (2 / x² − 4 / √x + 3∛(x²))dx, давайте разобьем его на три отдельных интеграла:

• ∫ (2 / x²) dx
• ∫ (-4 / √x) dx
• ∫ (3∛(x²)) dx

Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности.

1. Интеграл ∫ (2 / x²) dx:

Мы можем переписать 2 / x² как 2 * x^(-2). Тогда интеграл будет:

∫ (2 * x^(-2)) dx = 2 * ∫ (x^(-2)) dx.

Интеграл x^(-2) равен -x^(-1) или -1/x. Следовательно:

2 * ∫ (x^(-2)) dx = 2 * (-1/x) = -2/x.

2. Интеграл ∫ (-4 / √x) dx:

Мы знаем, что √x = x^(1/2), тогда -4 / √x можно записать как -4 * x^(-1/2). Таким образом, интеграл будет:

∫ (-4 * x^(-1/2)) dx = -4 * ∫ (x^(-1/2)) dx.

Интеграл x^(-1/2) равен 2 * x^(1/2). Следовательно:

-4 * ∫ (x^(-1/2)) dx = -4 * (2 * x^(1/2)) = -8√x.

3. Интеграл ∫ (3∛(x²)) dx:

Здесь 3∛(x²) можно переписать как 3 * x^(2/3). Тогда интеграл будет:

∫ (3 * x^(2/3)) dx = 3 * ∫ (x^(2/3)) dx.

Интеграл x^(2/3) равен (3/5) * x^(5/3). Следовательно:

3 * ∫ (x^(2/3)) dx = 3 * (3/5) * x^(5/3) = (9/5) * x^(5/3).

Теперь мы можем объединить все эти результаты:

Итоговый ответ:

∫ (2 / x² − 4 / √x + 3∛(x²))dx = -2/x - 8√x + (9/5) * x^(5/3) + C,

где C — константа интегрирования.