Найдите ∫ xe^(x²)

Другие предметы Университет Интегрирование функций интеграл математический анализ xe^(x²) университет вычисление интеграла методы интегрирования функции экспоненциальная функция Новый

Чтобы найти интеграл ∫ xe^(x²) dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям или подстановкой. В данном случае, удобнее всего использовать подстановку.

Шаг 1: Подбор подстановки

Заметим, что производная функции x² равна 2x. Это означает, что если мы сделаем подстановку, то мы сможем упростить интеграл. Выберем:

• u = x²
• Тогда du/dx = 2x, что означает, что du = 2x dx.
• Отсюда, x dx = (1/2) du.

Шаг 2: Замена переменной в интеграле

Теперь подставим u в наш интеграл:

∫ xe^(x²) dx = ∫ e^u (1/2) du = (1/2) ∫ e^u du.

Шаг 3: Интегрирование

Интеграл ∫ e^u du равен e^u, поэтому:

(1/2) ∫ e^u du = (1/2) e^u + C, где C - константа интегрирования.

Шаг 4: Подстановка обратно

Теперь вернемся к переменной x, подставив обратно u = x²:

(1/2) e^(x²) + C.

Ответ:

∫ xe^(x²) dx = (1/2) e^(x²) + C.