Похожие вопросы
2025-04-13 00:33:14
Найдите общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0
- y³ = x³ln|Cx|
- y = xln|Cx|
- y³ = 3x³ln|Cx|
- x³ = y³ln|Cx|
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения высшая математика университет общее решение уравнения Дифференциальные уравнения математический анализ решение задач математические методы учебные материалы подготовка к экзаменам лекции по высшей математике
2025-04-13 00:33:25
Для решения данного уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0, начнем с приведения его к стандартному виду. Мы можем переписать его в форме:
dy/dx = -(y + 2)/(3x + 2)
Теперь мы видим, что это уравнение можно решить методом разделения переменных. Для этого мы выделим dy и dx:
(y + 2)dy = -(3x + 2)dx
Теперь мы интегрируем обе стороны:
- Левая сторона: ∫(y + 2)dy = (1/2)y² + 2y
- Правая сторона: ∫-(3x + 2)dx = - (3/2)x² - 2x
Теперь мы можем записать общее решение:
(1/2)y² + 2y + (3/2)x² + 2x = C
где C - произвольная константа интегрирования.
Теперь давайте рассмотрим предложенные вами уравнения:
- y³ = x³ln|Cx|
- y = xln|Cx|
- y³ = 3x³ln|Cx|
- x³ = y³ln|Cx|
Чтобы проверить, является ли какое-либо из этих уравнений решением, мы можем подставить их в общее решение, полученное выше. Например, подставим y = xln|Cx|:
1. Подставляем y = xln|Cx| в общее решение:
(1/2)(xln|Cx|)² + 2(xln|Cx|) + (3/2)x² + 2x = C
2. Упрощаем полученное выражение и проверяем, возможно ли его упростить до вида C.
Аналогично, мы можем проверить и другие уравнения.
Таким образом, общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0 записывается как:
(1/2)y² + 2y + (3/2)x² + 2x = C
Или, в зависимости от подстановок, можно проверить, какие из предложенных вами уравнений могут быть эквивалентны этому решению.
