Найдите общее решение уравнения 3y' = y² / x² + 10 ⋅ y / x + 10

1. (y + 2x) / (x(y + 5x)) = C
2. (2x - y)(y + 2x) = C
3. (2x - y) / (y + 3x) = C

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения высшая математика решение уравнения Дифференциальные уравнения университетские задачи математические методы уравнение 3y' общее решение математический анализ Новый

Для решения данного уравнения начнем с его преобразования. У нас есть уравнение:

3y' = y² / x² + 10 ⋅ y / x + 10

Сначала выразим y' через y:

y' = (y² / (3x²)) + (10y / (3x)) + (10 / 3)

Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем его решить, используя метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя. Однако, в данном случае, удобнее использовать метод интегрирующего множителя, так как у нас есть выражения, которые можно сгруппировать.

Сначала упростим правую часть уравнения:

y' = (y² + 30xy + 30x²) / (3x²)

Теперь мы можем записать это уравнение в более удобной форме:

3xy' = y² + 30xy + 30x²

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

3xy' - y² - 30xy - 30x² = 0

Это уравнение можно решить, используя метод характеристик или методом подбора. Однако, чтобы найти общее решение, мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

Теперь давайте рассмотрим вторую часть уравнения:

(y + 2x) / (x(y + 5x)) = C

Это выражение можно упростить, умножив обе стороны на x(y + 5x):

(y + 2x) = Cx(y + 5x)

Теперь раскроем скобки:

y + 2x = Cxy + 5Cx²

Переносим все члены с y в одну сторону:

y - Cxy = 5Cx² - 2x

Факторизуем y:

y(1 - Cx) = 5Cx² - 2x

Теперь выразим y:

y = (5Cx² - 2x) / (1 - Cx)

Таким образом, мы получили общее решение уравнения:

y = (5Cx² - 2x) / (1 - Cx)

Теперь рассмотрим третью часть уравнения:

(2x - y)(y + 2x) = C

Раскроем скобки:

(2xy + 4x² - y² - 2xy) = C

Упростим:

4x² - y² = C

Это уравнение можно также решить относительно y:

y² = 4x² - C

Таким образом, мы получили еще одно выражение для y:

y = ±√(4x² - C)

Теперь мы имеем два выражения для y, которые представляют общее решение исходного уравнения. В зависимости от значений C, мы можем получить различные кривые.

Таким образом, общее решение уравнения можно записать в виде:

y = (5Cx² - 2x) / (1 - Cx) или y = ±√(4x² - C)

В заключение, для каждого значения C будет существовать соответствующее решение, которое можно будет проанализировать отдельно.