Похожие вопросы
2025-09-04 17:53:36
Найдите общее решение уравнения (x + y)dx + xdy = 0
- y = (C − x²) / 2x
- y = (x² − C) / 2x
- y = (C − x²) / x
Другие предметы Университет Общее решение дифференциальных уравнений высшая математика университет общее решение уравнения Дифференциальные уравнения математический анализ решение задач математические методы интегралы курс высшей математики
2025-09-04 17:53:48
Для решения уравнения (x + y)dx + xdy = 0, начнем с его приведения к стандартному виду. Мы можем переписать уравнение в виде:
(x + y)dx + xdy = 0
Это уравнение является полным дифференциалом. Мы можем разделить переменные, чтобы упростить решение. Перепишем его так:
dy = -((x + y) / x)dx
Теперь мы можем разделить переменные:
dy / (x + y) = -dx / x
Теперь интегрируем обе стороны:
- Левая часть: ∫(1 / (x + y)) dy дает ln|x + y|.
- Правая часть: ∫(-1 / x) dx дает -ln|x|.
Таким образом, мы получаем:
ln|x + y| = -ln|x| + C
Где C - произвольная константа интегрирования. Теперь мы можем избавиться от логарифмов, возведя обе стороны в степень:
|x + y| = K / |x|, где K = e^C.
Теперь мы можем рассмотреть несколько случаев:
- Если x + y > 0 и x > 0, то x + y = K / x.
- Если x + y < 0 и x < 0, то -(x + y) = K / (-x).
С учетом этих случаев, мы можем выразить y через x:
y = K / x - x.
Теперь, чтобы выразить K через C, можно заметить, что K может быть представлено как C + x^2 (или аналогично с другими знаками в зависимости от случая).
Таким образом, общее решение уравнения будет:
y = (C - x^2) / (2x) или y = (x^2 - C) / (2x).
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.