Похожие вопросы
2025-09-04 08:19:48
Общим решением уравнения y'-yctgx=sinx является
- y=C
- y=sinx+C
- y=(x+C)sinx
- y=Cx+ctgx
Другие предметы Университет Общее решение дифференциальных уравнений математический анализ уравнение решение y' y sinx ctgx университет Дифференциальные уравнения методы решения
2025-09-04 08:20:05
Для того чтобы найти общее решение дифференциального уравнения y' - yctgx = sinx, давайте разберем его шаг за шагом.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
Мы имеем уравнение первого порядка:
y' - yctgx = sinx.
Это уравнение можно привести к стандартному виду:
y' + P(x)y = Q(x),
где P(x) = -ctgx и Q(x) = sinx.
Шаг 2: Определение интегрирующего множителя
Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:
μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(∫-ctgx dx).
Интеграл ∫-ctgx dx равен -ln|sinx|, следовательно:
μ(x) = e^(-ln|sinx|) = 1/sinx.
Шаг 3: Умножение уравнения на интегрирующий множитель
Умножим все уравнение на 1/sinx:
(1/sinx)y' - (1/sinx)yctgx = sinx/sinx.
Это упрощается до:
(1/sinx)y' - y(cosx/sinx) = 1.
Теперь мы можем переписать уравнение в виде:
(y/sinx)' = 1.
Шаг 4: Интегрирование
Теперь интегрируем обе стороны:
∫(y/sinx)' dx = ∫1 dx.
Это дает:
y/sinx = x + C,
где C - константа интегрирования.
Шаг 5: Выражение y через x
Теперь умножим обе стороны на sinx:
y = (x + C)sinx.
Таким образом, общее решение данного уравнения:
y = (x + C)sinx.
Теперь давайте рассмотрим предложенные варианты:
- y = C (неверно, так как это не учитывает зависимость от x)
- y = sinx + C (неверно, так как не учитывает x)
- y = (x + C)sinx (верно, это и есть общее решение)
- y = Cx + ctgx (неверно, так как это не соответствует решению уравнения)
Таким образом, правильный ответ: y = (x + C)sinx.