Похожие вопросы
2025-03-05 06:12:30
Найдите общее решение уравнения y' = (y / x)² + y / x + 4
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения математический анализ общее решение уравнение производная y' y x университет решение уравнения математические методы
2025-07-19 13:45:58
Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка мы начнем с анализа его структуры. Уравнение имеет вид:
y' = (y / x)² + y / x + 4
Это уравнение не является линейным, но можно попробовать его решить методом подстановки. Предположим, что y = vx, где v - новая переменная, зависящая от x. Тогда производная y по x будет выглядеть следующим образом:
y' = v'x + v
Теперь подставим y = vx и y' = v'x + v в исходное уравнение:
v'x + v = (vx / x)² + vx / x + 4
Упростим правую часть уравнения:
v'x + v = v² + v + 4
Теперь у нас есть уравнение:
v'x + v = v² + v + 4
Сократим v с обеих сторон:
v'x = v² + 4
Разделим обе части на x:
v' = (v² + 4) / x
Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить методом разделения переменных. Перепишем его в следующем виде:
dv / (v² + 4) = dx / x
Интегрируем обе части уравнения:
- Для левой части: ∫ dv / (v² + 4) = (1/2) * arctan(v/2) + C₁
- Для правой части: ∫ dx / x = ln|x| + C₂
Объединяем результаты интегрирования:
(1/2) * arctan(v/2) = ln|x| + C
где C = C₂ - C₁.
Теперь выразим v:
arctan(v/2) = 2ln|x| + 2C
v/2 = tan(2ln|x| + 2C)
v = 2tan(2ln|x| + 2C)
Теперь вернемся к исходной переменной y. Напомним, что y = vx, следовательно:
y = 2x tan(2ln|x| + 2C)
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.
