Найдите общее решение уравнения y' = (y / x)² + y / x + 4

1. 1/2 ⋅ arctg(y/2x) = ln|Cx|
2. 1/2 ⋅ arctg(y/2x) = lnCx
3. arctg(y/x) = ln|Cx|
4. 1/2 ⋅ arctg(y/x) = ln|Cx|

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения высшая математика университет общее решение уравнения Дифференциальные уравнения математический анализ метод решения уравнений арктангенс логарифмические функции математические модели учебные материалы по математике Новый

Для решения уравнения y' = (y / x)² + (y / x) + 4, начнем с преобразования уравнения. Мы можем сделать замену переменных, введя новую переменную v = y / x. Тогда y = vx и y' = v + x * dv/dx по правилу дифференцирования произведения.

Теперь подставим это в уравнение:

Шаг 1: Подставляем y и y' в уравнение:

• y' = v + x * dv/dx
• (y / x)² = v²
• (y / x) = v

Таким образом, уравнение принимает вид:

v + x * dv/dx = v² + v + 4.

Шаг 2: Упростим уравнение:

x * dv/dx = v² + 4.

Шаг 3: Теперь разделим переменные:

dv / (v² + 4) = dx / x.

Шаг 4: Интегрируем обе стороны:

• Левая часть: ∫ dv / (v² + 4) = (1/2) * arctg(v/2) + C1.
• Правая часть: ∫ dx / x = ln|x| + C2.

Таким образом, получаем:

(1/2) * arctg(v/2) = ln|x| + C.

Шаг 5: Подставляем обратно v = y/x:

(1/2) * arctg(y/(2x)) = ln|x| + C.

Шаг 6: Умножаем обе стороны на 2:

arctg(y/(2x)) = 2ln|x| + 2C.

Это и есть общее решение данного уравнения. Теперь мы можем выразить y через x, если это необходимо.

Таким образом, общее решение уравнения y' = (y / x)² + (y / x) + 4 имеет вид:

arctg(y/(2x)) = 2ln|x| + C, где C - произвольная константа.