Для решения уравнения y' = (y / x)² + (y / x) + 4, начнем с преобразования уравнения. Мы можем сделать замену переменных, введя новую переменную v = y / x. Тогда y = vx и y' = v + x * dv/dx по правилу дифференцирования произведения.

Теперь подставим это в уравнение:

Шаг 1: Подставляем y и y' в уравнение:

• y' = v + x * dv/dx
• (y / x)² = v²
• (y / x) = v

Таким образом, уравнение принимает вид:

v + x * dv/dx = v² + v + 4.

Шаг 2: Упростим уравнение:

x * dv/dx = v² + 4.

Шаг 3: Теперь разделим переменные:

dv / (v² + 4) = dx / x.

Шаг 4: Интегрируем обе стороны:

• Левая часть: ∫ dv / (v² + 4) = (1/2) * arctg(v/2) + C1.
• Правая часть: ∫ dx / x = ln|x| + C2.

Таким образом, получаем:

(1/2) * arctg(v/2) = ln|x| + C.

Шаг 5: Подставляем обратно v = y/x:

(1/2) * arctg(y/(2x)) = ln|x| + C.

Шаг 6: Умножаем обе стороны на 2:

arctg(y/(2x)) = 2ln|x| + 2C.

Это и есть общее решение данного уравнения. Теперь мы можем выразить y через x, если это необходимо.

Таким образом, общее решение уравнения y' = (y / x)² + (y / x) + 4 имеет вид:

arctg(y/(2x)) = 2ln|x| + C, где C - произвольная константа.