Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2+1, y = 0, x = 0, x = 2

Другие предметы Университет Интегрирование площадь фигуры математический анализ интегралы y = x^2+1 график функции ограниченные области высота фигуры университетская математика Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 + 1, осью абсцисс (y = 0) и вертикальными линиями x = 0 и x = 2, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Построение графика функции:
   • Функция y = x^2 + 1 — это парабола, которая открыта вверх и имеет минимум в точке (0, 1).
   • График пересекает ось y в точке (0, 1) и не пересекает ось x, так как y всегда больше или равно 1.
2. Определение границ интегрирования:
   • Мы интегрируем от x = 0 до x = 2, так как это границы, заданные в условии.
3. Запись интеграла для нахождения площади:
   • Площадь фигуры будет равна определенному интегралу от функции y = x^2 + 1 по интервалу [0, 2].
   • Записываем интеграл:
   • P = ∫(x^2 + 1) dx от 0 до 2.
4. Вычисление интеграла:
   • Находим первообразную функции x^2 + 1:
   • ∫(x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x + C.
   • Теперь подставим пределы интегрирования:
5. Подстановка пределов:
   • Подставляем верхний предел:
   • (1/3)(2^3) + 2 = (1/3)(8) + 2 = (8/3) + 2 = (8/3) + (6/3) = 14/3.
   • Подставляем нижний предел:
   • (1/3)(0^3) + 0 = 0.
   • Теперь находим площадь:
   • P = (14/3) - 0 = 14/3.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 14/3.