Верно ли, что интеграл от произведения двух функций всегда равен произведению интегралов от этих функций?

• нет
• да

Другие предметы Университет Интегрирование интеграл произведение функций математический анализ свойства интегралов интегралы в математике университетский курс анализа Новый

Нет, это неверно. Интеграл от произведения двух функций не всегда равен произведению интегралов от этих функций. Давайте разберем это подробнее.

Для двух функций f(x) и g(x) интеграл их произведения обозначается следующим образом:

∫ f(x) * g(x) dx

В общем случае, это выражение не равно:

∫ f(x) dx * ∫ g(x) dx

Причины этого можно понять через несколько примеров и свойства интегралов.

• Пример: Рассмотрим функции f(x) = x и g(x) = x. Тогда:
1. Интеграл от произведения:
2. ∫ (x * x) dx = ∫ x^2 dx = (1/3)x^3 + C.
3. Интегралы от каждой функции:
4. ∫ x dx = (1/2)x^2 + C и ∫ x dx = (1/2)x^2 + C.
5. Теперь произведение интегралов:
6. ((1/2)x^2 + C) * ((1/2)x^2 + C) = (1/4)x^4 + C', где C' - новая константа.
7. Как видно, (1/3)x^3 не равно (1/4)x^4 + C'.
• Общее свойство: Интегралы не могут быть разложены на произведение, если функции не независимы. Например, если f(x) и g(x) являются линейно зависимыми, то интеграл от их произведения может быть равен нулю.

Таким образом, в общем случае можно утверждать, что:

∫ f(x) * g(x) dx ≠ ∫ f(x) dx * ∫ g(x) dx

Это свойство является важным в математическом анализе, и его следует учитывать при решении задач, связанных с интегрированием функций.