Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = x + 3 и y = x² + 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения:

y = x + 3

y = x² + 1

Приравниваем их:

x + 3 = x² + 1

Переносим все в одну сторону:

x² - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставим значения:

• b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
• Теперь найдем корни:
• x = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2

Таким образом, мы получаем два значения:

• x₁ = (1 + 3) / 2 = 2
• x₂ = (1 - 3) / 2 = -1

Точки пересечения: x = -1 и x = 2.

Для нахождения площади между кривыми, используем интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx, где a и b - пределы интегрирования.

В нашем случае:

• Верхняя функция: y = x + 3
• Нижняя функция: y = x² + 1

Теперь подставим пределы интегрирования от -1 до 2:

Площадь = ∫[-1, 2] ((x + 3) - (x² + 1)) dx

Упростим выражение внутри интеграла:

(x + 3) - (x² + 1) = -x² + x + 2

Теперь нам нужно вычислить интеграл:

Площадь = ∫[-1, 2] (-x² + x + 2) dx

Найдем первообразную:

-x³/3 + x²/2 + 2x

Теперь подставим пределы:

Площадь = [-x³/3 + x²/2 + 2x] от -1 до 2

Сначала подставим x = 2:

• Площадь(2) = -2³/3 + 2²/2 + 2*2
• Площадь(2) = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6 = 10/3

Теперь подставим x = -1:

• Площадь(-1) = -(-1)³/3 + (-1)²/2 + 2*(-1)
• Площадь(-1) = 1/3 + 1 - 2 = 1/3 - 1 = -2/3

Теперь найдем разность:

Площадь = (10/3) - (-2/3) = 10/3 + 2/3 = 12/3 = 4.

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 3 и y = x² + 1, равна 4.