Похожие вопросы
2025-07-19 09:35:35
Найти интеграл ∫ dx / √(4 − x²)
- arcsinx + c
- arccosx + c
- arcsin(x/2) + c
- arctg(x/2) + c
- 1/2 ⋅ arctg(x/2) + c
Другие предметы Университет Неопределенные интегралы интеграл высшая математика университет arcsin arccos arcsin(x/2) arctg каркотангенс математический анализ интегрирование тригонометрические функции учебный материал решение интегралов
2025-07-19 09:35:55
Чтобы решить интеграл ∫ dx / √(4 − x²), давайте начнем с его упрощения. Мы можем заметить, что выражение √(4 − x²) можно переписать как √(2² − x²), что нам поможет в дальнейшем.
Теперь мы можем использовать тригонометрическую подстановку. Поскольку у нас есть выражение вида √(a² - x²), мы можем воспользоваться подстановкой:
- x = 2sin(θ), тогда dx = 2cos(θ)dθ.
Теперь подставим это в наш интеграл:
∫ dx / √(4 − x²) = ∫ (2cos(θ) dθ) / √(4 - (2sin(θ))²)
Упрощаем подкоренное выражение:
√(4 - 4sin²(θ)) = √(4(1 - sin²(θ))) = √(4cos²(θ)) = 2cos(θ).
Теперь наш интеграл становится:
∫ (2cos(θ) dθ) / (2cos(θ)) = ∫ dθ = θ + C.
Теперь вернемся к переменной x. Мы знаем, что θ = arcsin(x/2), так как x = 2sin(θ).
Таким образом, мы получаем:
∫ dx / √(4 − x²) = arcsin(x/2) + C.
Теперь что касается выражения arcsinx + carccosx + carcsin(x/2) + carctg(x/2) + c1/2 ⋅ arctg(x/2) + c. Это выражение содержит несколько функций, и для его анализа нам нужно будет рассмотреть каждую из них отдельно.
1. arcsin(x/2) - это уже наш найденный интеграл.
2. carccosx - это арккосинус, который можно выразить через арксинус: carccosx = π/2 - arcsinx.
3. carcsin(x/2) - это также арксинус, который мы уже нашли.
4. carctg(x/2) - это арккотангенс, который можно выразить через арктангенс: carctg(x/2) = π/2 - arctg(x/2).
5. c1/2 ⋅ arctg(x/2) - это просто половина арктангенса.
Сложив все это вместе, мы можем выразить общее решение, но так как это отдельные функции, можно оставить их в таком виде, как они есть.
В итоге, результат интеграла можно записать как:
arcsin(x/2) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
