Похожие вопросы
2025-07-19 09:34:49
Найти интеграл ∫ dx / (x² + 6x + 13)
- arcsin(x + 3) + c
- arcsin((x + 3) / 2) + c
- arctg(x + 3) + c
- 1/2 ⋅ arctg((x + 3) / 2) + c
- 2arctg(x + 3) + c
Другие предметы Университет Неопределенные интегралы интеграл высшая математика университет математический анализ интегрирование функции арксинус арктангенс арккотангенс решение интеграла
2025-07-19 09:35:09
Для решения интеграла ∫ dx / (x² + 6x + 13)arcsin(x + 3) + carcsin((x + 3) / 2) + carctg(x + 3) + c1/2 ⋅ arctg((x + 3) / 2) + c2arctg(x + 3) + c, давайте сначала разберемся с выражением в знаменателе.
Шаг 1: Приведение к стандартному виду
Заметим, что выражение x² + 6x + 13 можно привести к квадрату. Для этого выделим полный квадрат:
- x² + 6x + 9 + 4 = (x + 3)² + 4.
Таким образом, наш интеграл можно переписать как:
∫ dx / ((x + 3)² + 4)arcsin(x + 3) + ...
Шаг 2: Подстановка
Для упрощения интеграла, сделаем замену переменной. Пусть:
- u = x + 3,
- dx = du.
Тогда интеграл станет:
∫ du / (u² + 4)arcsin(u) + ...
Шаг 3: Интегрирование
Теперь обратим внимание на выражение 1 / (u² + 4). Это стандартная форма, которую можно интегрировать. Мы знаем, что:
- ∫ du / (u² + a²) = (1/a) * arctg(u/a) + C, где a = 2.
Таким образом:
∫ du / (u² + 4) = (1/2) * arctg(u/2) + C.
Шаг 4: Объединение результатов
Теперь, возвращаясь к нашему интегралу, мы можем выразить его как:
(1/2) * arctg((x + 3)/2)arcsin(x + 3) + ... + C.
Где C - это произвольная константа интегрирования. Остальные члены интеграла, такие как carcsin и carctg, требуют отдельного рассмотрения и могут быть добавлены к общему результату.
Вывод:
Итак, интеграл требует применения различных методов интегрирования и подстановок. В результате мы получили выражение, которое включает арктангенс и арксинус. Полный ответ будет зависеть от всех членов интеграла, которые вы хотите объединить.
