Чтобы решить интеграл ∫ eˣ dx / (e²ˣ − a²), начнем с того, что заметим, что в знаменателе у нас выражение e²ˣ − a². Мы можем использовать разложение на множители, чтобы упростить интеграл.

Шаг 1: Замена переменной

• Сделаем замену переменной: положим u = eˣ. Тогда du = eˣ dx, или dx = du / u.
• При этом, e²ˣ = (eˣ)² = u². Таким образом, интеграл преобразуется в:

∫ du / (u² - a²) = ∫ du / ((u - a)(u + a))

Шаг 2: Разложение на простейшие дроби

• Теперь разложим дробь на простейшие:
• 1 / ((u - a)(u + a)) = A / (u - a) + B / (u + a),
• где A и B - некоторые константы, которые мы найдем. Умножим обе стороны на (u - a)(u + a):

1 = A(u + a) + B(u - a)

Шаг 3: Определение коэффициентов

• Теперь подставим подходящие значения для u, чтобы найти A и B:
• Пусть u = a: 1 = A(2a), откуда A = 1/(2a).
• Пусть u = -a: 1 = B(-2a), откуда B = -1/(2a).

Шаг 4: Подстановка обратно в интеграл

Теперь мы можем записать наш интеграл как:

∫ (1/(2a) / (u - a) - 1/(2a) / (u + a)) du

Шаг 5: Интегрирование

• Разделим интеграл на два:
• 1/(2a) ∫ (1 / (u - a)) du - 1/(2a) ∫ (1 / (u + a)) du
• Интегрируем каждую часть:

1/(2a) ln|u - a| - 1/(2a) ln|u + a| + C

Шаг 6: Возврат к исходной переменной

Теперь подставим обратно u = eˣ:

1/(2a) ln|eˣ - a| - 1/(2a) ln|eˣ + a| + C

Шаг 7: Упрощение

Мы можем объединить логарифмы:

1/(2a) ln| (eˣ - a) / (eˣ + a) | + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл будет:

∫ eˣ dx / (e²ˣ − a²) = 1/(2a) ln| (eˣ - a) / (eˣ + a) | + C

Не забудьте, что в процессе мы получили произвольную константу C, которая может быть изменена в зависимости от условий задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение какого-либо шага, не стесняйтесь спрашивать!