Метод Ньютона, или метод касательных, является численным методом для нахождения корней уравнения. Основная идея метода заключается в том, чтобы начать с некоторого начального приближения корня и итеративно улучшать его, используя производную функции. Давайте разберем шаги решения:
-
Записать уравнение: У нас есть уравнение ƒ(x) = exp(–x) + x – 2 = 0.
-
Вывести производную функции: Для применения метода Ньютона нам необходимо найти производную функции ƒ(x).
- ƒ(x) = exp(–x) + x – 2
- ƒ'(x) = -exp(–x) + 1
-
Выбрать начальное приближение: Начальное приближение можно выбрать, исходя из графического анализа или предположений. Допустим, начнем с x₀ = 1.
-
Применить итерационную формулу метода Ньютона: Формула для нахождения следующего приближения x₁ выглядит так:
Подставим значения:
- ƒ(1) = exp(–1) + 1 – 2 = 0.3679 + 1 – 2 = -0.6321
- ƒ'(1) = -exp(–1) + 1 = -0.3679 + 1 = 0.6321
- x₁ = 1 - (-0.6321 / 0.6321) ≈ 1 + 1 = 2
-
Повторение итераций: Повторяем процесс, пока разница между последовательными приближениями не станет меньше заданной погрешности (0.01).
- Вычисляем ƒ(2) и ƒ'(2):
- ƒ(2) = exp(–2) + 2 – 2 = 0.1353 + 2 – 2 = 0.1353
- ƒ'(2) = -exp(–2) + 1 = -0.1353 + 1 = 0.8647
- x₂ = 2 - (0.1353 / 0.8647) ≈ 2 - 0.1565 = 1.8435
-
Проверка погрешности: Продолжаем итерации до тех пор, пока модуль разности |x₂ - x₁| не станет меньше 0.01.
- Вычисляем ƒ(1.8435) и ƒ'(1.8435):
- ƒ(1.8435) = exp(–1.8435) + 1.8435 – 2 ≈ 0.1587 + 1.8435 – 2 ≈ 0.0022
- ƒ'(1.8435) = -exp(–1.8435) + 1 ≈ -0.1587 + 1 ≈ 0.8413
- x₃ = 1.8435 - (0.0022 / 0.8413) ≈ 1.8435 - 0.0026 ≈ 1.8409
-
Завершение: Продолжаем итерации, пока разница между последовательными значениями не станет меньше 0.01. В данном случае, после нескольких итераций, мы получаем, что x приближается к 1.84 с погрешностью менее 0.01.
Таким образом, корень уравнения с заданной точностью находится около x ≈ 1.84.