Метод Ньютона, также известный как метод касательных, используется для нахождения корней уравнения. Давайте разберемся, как его применить к уравнению ƒ(x) = -ln(3x) + x = 0 с заданной точностью.

Шаги решения:

1. Выберите начальное приближение: Для начала нам нужно выбрать начальное приближение x0. Выбираем его исходя из графика функции или из интервала, в котором, по нашему предположению, находится корень. Предположим, что x0 = 1.
2. Найдите производную функции: Для метода Ньютона необходимо найти производную функции ƒ(x). В нашем случае:
   • ƒ(x) = -ln(3x) + x
   • ƒ'(x) = -1/(3x) * 3 + 1 = -1/x + 1
3. Примените формулу метода Ньютона: Формула для нахождения следующего приближения x1 выглядит следующим образом:
   • x1 = x0 - ƒ(x0) / ƒ'(x0)
4. Вычислите следующее приближение: Подставьте начальное приближение x0 в формулу:
   • ƒ(x0) = -ln(3*1) + 1 = -ln(3) + 1
   • ƒ'(x0) = -1/1 + 1 = 0
   • Так как ƒ'(x0) = 0, необходимо выбрать другое начальное приближение, чтобы избежать деления на ноль. Попробуем x0 = 0.5.
5. Повторите расчет: Подставьте новое начальное приближение x0 = 0.5 в формулу:
   • ƒ(x0) = -ln(3*0.5) + 0.5 = -ln(1.5) + 0.5
   • ƒ'(x0) = -1/0.5 + 1 = -2 + 1 = -1
   • x1 = 0.5 - (-ln(1.5) + 0.5) / -1 = 0.5 + ln(1.5) - 0.5 = ln(1.5)
6. Проверьте условие точности: Если разница между x1 и x0 меньше 0.01, то x1 можно считать приближенным корнем с заданной точностью. Если нет, используйте x1 в качестве нового приближения и повторите шаги 4 и 5.
7. Продолжайте итерации: Повторяйте процесс до достижения необходимой точности.

Таким образом, метод Ньютона позволяет шаг за шагом приближаться к корню уравнения с заданной точностью. Важно помнить, что выбор начального приближения может существенно повлиять на скорость сходимости метода.