Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0.
x – x3 – 5 = 0

• –1.91
• 0.0017
• 0.11
• 0.1

Другие предметы Университет Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность ƒ(x) = 0 университет численные методы Новый

Для решения уравнения ƒ(x) = 0 с помощью метода Ньютона, сначала необходимо определить функцию и её производную. В данном случае у нас есть:

Функция: ƒ(x) = x - x³ - 5

Производная: ƒ'(x) = 1 - 3x²

Теперь давайте начнем решение методом Ньютона. Этот метод основывается на итерационном процессе, который можно описать следующей формулой:

x_n+1 = x_n - ƒ(x_n) / ƒ'(x_n)

Шаги решения:

1. Выбор начального приближения: Мы можем выбрать одно из предложенных значений, например, x₀ = -1.91.
2. Вычисление значений функции и её производной:
   • Вычисляем ƒ(-1.91) = -1.91 - (-1.91)³ - 5.
   • Вычисляем ƒ'(-1.91) = 1 - 3 * (-1.91)².
3. Применение формулы Ньютона:
   • Вычисляем x₁ = x₀ - ƒ(x₀) / ƒ'(x₀).
4. Повторение итераций: Повторяем шаги 2 и 3, используя новое значение x₁ для вычисления x₂, пока разница между двумя последовательными приближениями не станет меньше 0.01.
5. Проверка условия остановки: Проверяем |x_n+1 - x_n| < 0.01.
6. Запись результата: После достижения необходимой точности записываем корень уравнения.

Теперь давайте проведем вычисления:

Итерация 1:

Для x₀ = -1.91:

• ƒ(-1.91) = -1.91 + 7.036 - 5 = 0.126.
• ƒ'(-1.91) = 1 - 3 * 3.6561 = -10.9683.
• x₁ = -1.91 - 0.126 / -10.9683 ≈ -1.91 + 0.0115 ≈ -1.8985.

Итерация 2:

Для x₁ = -1.8985:

• ƒ(-1.8985) ≈ 0.0008.
• ƒ'(-1.8985) ≈ -10.9344.
• x₂ = -1.8985 - 0.0008 / -10.9344 ≈ -1.8985 + 0.000073 ≈ -1.8984.

Проверяем разницу:

|x₂ - x₁| = |-1.8984 - (-1.8985)| = 0.0001 < 0.01.

Таким образом, мы достигли необходимой точности, и корень уравнения ƒ(x) = 0 с погрешностью не превышающей 0.01 равен примерно -1.8984.