Метод Ньютона, или метод касательных, — это численный метод нахождения корней уравнения. Он основан на итеративном процессе, который приближает решение с помощью производной функции.

Дано уравнение:

• ƒ(x) = exp(x) + x - 7 = 0

Шаги решения:

1. Выбор начального приближения x₀: Для выбора начального приближения можно использовать графический метод или оценку. В данном случае, заметим, что exp(x) быстро растет, и для x = 1 значение функции будет меньше 0, а для x = 2 больше 0. Таким образом, можно выбрать x₀ = 1.5.
2. Нахождение производной функции: Производная ƒ'(x) = exp(x) + 1.
3. Формула метода Ньютона: Новый приближенный корень вычисляется как:
• xₙ₊₁ = xₙ - ƒ(xₙ) / ƒ'(xₙ)
4. Вычисление итераций:
• Итерация 1: x₀ = 1.5
• ƒ(x₀) = exp(1.5) + 1.5 - 7 ≈ -2.351
• ƒ'(x₀) = exp(1.5) + 1 ≈ 5.481
• x₁ = 1.5 - (-2.351 / 5.481) ≈ 1.929
• Итерация 2: x₁ = 1.929
• ƒ(x₁) = exp(1.929) + 1.929 - 7 ≈ 0.050
• ƒ'(x₁) = exp(1.929) + 1 ≈ 7.889
• x₂ = 1.929 - (0.050 / 7.889) ≈ 1.923
• Итерация 3: x₂ = 1.923
• ƒ(x₂) = exp(1.923) + 1.923 - 7 ≈ 0.0003
• ƒ'(x₂) = exp(1.923) + 1 ≈ 7.851
• x₃ = 1.923 - (0.0003 / 7.851) ≈ 1.923
5. Проверка точности: Поскольку разница между x₂ и x₃ составляет менее 0.01, приближение можно считать достаточно точным.

Таким образом, корень уравнения с точностью до 0.01 находится в точке x ≈ 1.923.