Чтобы найти неопределенный интеграл, давайте внимательно разберем выражение, которое нам дано. Мы видим, что интеграл состоит из нескольких частей, и нам нужно будет работать с каждой из них отдельно.

Давайте начнем с первой части интеграла: ∫dx/(x² + 4x). Это выражение можно упростить, выделив полный квадрат в знаменателе.

Мы можем переписать x² + 4x следующим образом:

• x² + 4x = (x + 2)² - 4.

Теперь мы можем переписать интеграл:

∫dx/((x + 2)² - 4).

Мы можем использовать замену переменной. Пусть u = x + 2. Тогда dx = du, и наш интеграл становится:

∫du/(u² - 4).

Теперь мы можем разложить дробь на простейшие дроби:

1/(u² - 4) = 1/((u - 2)(u + 2)).

Мы можем записать:

1/((u - 2)(u + 2)) = A/(u - 2) + B/(u + 2).

Решая это уравнение, мы найдем A и B, а затем интегрируем каждую часть отдельно.

После нахождения A и B, мы можем интегрировать:

• ∫A/(u - 2) du = A * ln|u - 2| + C1;
• ∫B/(u + 2) du = B * ln|u + 2| + C2.

Не забудьте вернуть переменную обратно к x, подставив u = x + 2.

Теперь давайте посмотрим на остальные части интеграла, такие как 6arcsin(x), C1/√2 arctg(x), C1/√2 ln|x - 2/x + 2| и C - 1/(x + 2).

• ∫6arcsin(x) dx - это интеграл, который можно решить с помощью интегрирования по частям;
• ∫(C1/√2) arctg(x) dx - также интегрируется по частям;
• ∫(C1/√2) ln|x - 2/x + 2| dx - это требует использования подхода для интегрирования логарифмических функций;
• ∫(-1/(x + 2)) dx - это просто -ln|x + 2| + C.

Соберите все части вместе, и не забудьте добавить константу интегрирования C в конце.

∫(dx/(x² + 4x) + 6arcsin(x) + C1/√2 arctg(x) + C1/√2 ln|x - 2/x + 2| - 1/(x + 2)) + C.

Таким образом, мы разобрали все шаги по нахождению интеграла. Если у вас есть вопросы по какому-либо из шагов, пожалуйста, дайте знать!