Найти неопределенный интеграл ∫dx/x²+4x + 6

• arcsin x+2/√2 + C
• 1/√2 arctg x+2/√2 + C
• 1/√2 ln |x-2/x+2| + C
• -1/x+2

Другие предметы Университет Неопределенные интегралы неопределенный интеграл математика университет интегралы arcsin arctg LN функции анализ высшая математика Новый

Чтобы найти неопределенный интеграл, давайте внимательно разберем выражение, которое нам дано. Мы видим, что интеграл состоит из нескольких частей, и нам нужно будет работать с каждой из них отдельно.

Давайте начнем с первой части интеграла: ∫dx/(x² + 4x). Это выражение можно упростить, выделив полный квадрат в знаменателе.

Шаг 1: Упрощение знаменателя

Мы можем переписать x² + 4x следующим образом:

• x² + 4x = (x + 2)² - 4.

Теперь мы можем переписать интеграл:

∫dx/((x + 2)² - 4).

Шаг 2: Применение замены переменной

Мы можем использовать замену переменной. Пусть u = x + 2. Тогда dx = du, и наш интеграл становится:

∫du/(u² - 4).

Шаг 3: Разложение на простейшие дроби

Теперь мы можем разложить дробь на простейшие дроби:

1/(u² - 4) = 1/((u - 2)(u + 2)).

Мы можем записать:

1/((u - 2)(u + 2)) = A/(u - 2) + B/(u + 2).

Решая это уравнение, мы найдем A и B, а затем интегрируем каждую часть отдельно.

Шаг 4: Интегрирование

После нахождения A и B, мы можем интегрировать:

• ∫A/(u - 2) du = A * ln|u - 2| + C1;
• ∫B/(u + 2) du = B * ln|u + 2| + C2.

Не забудьте вернуть переменную обратно к x, подставив u = x + 2.

Шаг 5: Интеграция остальных частей

Теперь давайте посмотрим на остальные части интеграла, такие как 6arcsin(x), C1/√2 arctg(x), C1/√2 ln|x - 2/x + 2| и C - 1/(x + 2).

• ∫6arcsin(x) dx - это интеграл, который можно решить с помощью интегрирования по частям;
• ∫(C1/√2) arctg(x) dx - также интегрируется по частям;
• ∫(C1/√2) ln|x - 2/x + 2| dx - это требует использования подхода для интегрирования логарифмических функций;
• ∫(-1/(x + 2)) dx - это просто -ln|x + 2| + C.

Соберите все части вместе, и не забудьте добавить константу интегрирования C в конце.

Итак, итоговое выражение для неопределенного интеграла будет выглядеть так:

∫(dx/(x² + 4x) + 6arcsin(x) + C1/√2 arctg(x) + C1/√2 ln|x - 2/x + 2| - 1/(x + 2)) + C.

Таким образом, мы разобрали все шаги по нахождению интеграла. Если у вас есть вопросы по какому-либо из шагов, пожалуйста, дайте знать!