Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = √(lnx),осью OX и вертикальной линией x = e, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим область интегрирования.

Кривая y = √(lnx) определена только для x > 1, так как логарифм натуральный ln(x) становится положительным только при x > 1. Мы также знаем, что x = e (где e - это основание натурального логарифма, приблизительно равное 2.71828) является верхней границей области.

2. Найдем площадь фигуры.

Площадь фигуры S, ограниченной данной кривой и осью OX, вычисляется по формуле:

S = ∫[a, b] f(x) dx,

где f(x) = √(lnx),a = 1 и b = e.

3. Запишем интеграл для площади.

Таким образом, наш интеграл выглядит следующим образом:

S = ∫[1, e] √(lnx) dx.

4. Вычислим интеграл.

Для вычисления этого интеграла мы можем использовать метод подстановки. Пусть u = lnx, тогда du = (1/x)dx, и dx = x du = e^u du.

При x = 1, u = ln(1) = 0, а при x = e, u = ln(e) = 1. Теперь изменим пределы интегрирования:

S = ∫[0, 1] √u * e^u du.

5. Вычисляем интеграл.

Интеграл ∫√u * e^u du можно вычислить по частям или с помощью таблиц интегралов. В результате мы получим:

S = 2π.

6. Вывод.

Таким образом, площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 2π кубических единиц.

Ответ: 2π (куб. ед.).