Похожие вопросы
2025-09-14 18:35:35
Общее решение дифференциального уравнения (1 + x²)dy + ydx = 0 имеет вид …
- y = e^(–arctgx)
- y = Ce^(–arctgx)
- y = –lnx + C
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение общее решение математика университет решение уравнения арктангенс математический анализ y = Ce^(–arctgx) уравнение первого порядка
2025-09-14 18:35:50
Давайте разберем данное дифференциальное уравнение и найдем его общее решение. Уравнение имеет вид:
(1 + x²)dy + ydx = 0
Для начала, мы можем переписать его в более удобной форме:
dy/dx = -y/(1 + x²)
Это уравнение является линейным уравнением первого порядка. Мы можем решить его методом разделения переменных. Разделим переменные:
- Переносим все члены, содержащие y, на одну сторону, а все члены, содержащие x, на другую:
- Теперь интегрируем обе стороны:
- Интегрируя, получаем:
- Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон, чтобы избавиться от логарифма:
- Обозначим e^C как новую константу K (K > 0), тогда:
- Так как K может быть положительным или отрицательным, мы можем записать общее решение в виде:
dy/y = -dx/(1 + x²)
∫(1/y) dy = ∫(-1/(1 + x²)) dx
ln|y| = -arctg(x) + C, где C - постоянная интегрирования.
|y| = e^(-arctg(x) + C) = e^C * e^(-arctg(x))
y = K * e^(-arctg(x))
y = Ce^(-arctg(x)), где C - произвольная константа.
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
y = Ce^(-arctg(x))
Ответы y = e^(-arctg(x)) и y = -ln(x) + C не являются общими решениями данного уравнения. Поэтому правильный ответ:
y = Ce^(-arctg(x))