Общее решение уравнения y`-2y+y`=0 есть:

• y=Ce^x​​​​
• y=(C₁+C₂+C₃)xe^x​​​​
• y=C₁+C₂e^x+C₃xe^x

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения математический анализ общее решение уравнения уравнение y'''-2y''+y'=0 университет Дифференциальные уравнения методы решения уравнений математические методы высшая математика Новый

Чтобы найти общее решение уравнения третьего порядка y''' - 2y'' + y' = 0, мы можем использовать метод характеристического уравнения. Давайте разберем шаги решения этого уравнения.

1. Запишем характеристическое уравнение. Для данного дифференциального уравнения мы можем предположить, что решение имеет вид y = e^(rx), где r - это корень характеристического уравнения. Подставляем это предположение в уравнение:
2. Подставляем y, y', y'', y''' в уравнение:
   • y' = r * e^(rx)
   • y'' = r^2 * e^(rx)
   • y''' = r^3 * e^(rx)
3. Получаем характеристическое уравнение: Подставляем все найденные выражения в уравнение:

r^3 * e^(rx) - 2 * r^2 * e^(rx) + r * e^(rx) = 0.

4. Упрощаем уравнение: Мы можем вынести e^(rx) за скобки, так как оно не равно нулю:

(r^3 - 2r^2 + r) * e^(rx) = 0.

5. Решаем характеристическое уравнение: Теперь решим уравнение r^3 - 2r^2 + r = 0:
• Вынесем r за скобки: r(r^2 - 2r + 1) = 0.
• Получаем два фактора: r = 0 и (r - 1)^2 = 0, что дает r = 1 (двойной корень).
6. Находим корни: Таким образом, у нас есть корни r1 = 0 и r2 = r3 = 1.
7. Записываем общее решение: Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = C1 * e^(0*x) + C2 * e^(1*x) + C3 * x * e^(1*x),

где C1, C2 и C3 - произвольные константы.

8. Упрощаем решение: Поскольку e^(0*x) = 1, мы можем записать общее решение как:

y = C1 + C2 * e^x + C3 * x * e^x.

Таким образом, общее решение уравнения y''' - 2y'' + y' = 0 можно выразить как:

y = C1 + C2 * e^x + C3 * x * e^x.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.