Похожие вопросы
2025-09-15 19:46:39
Общее решение уравнения y'+4y=0 имеет вид …
- y = c₁ + e²ˣ
- y = c₁e²ˣ + c₂e²ˣ
- y = c₁cos2x + c₂sin2x
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения математика университет общее решение уравнения y'+4y=0 Дифференциальные уравнения решение уравнений математический анализ высшая математика
2025-09-15 19:46:59
Чтобы найти общее решение уравнения y' + 4y = 0, давайте разберем его шаг за шагом.
Шаг 1: Определение типа уравнения
Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
y' + p(x)y = 0,
где p(x) = 4.
Шаг 2: Применение метода разделения переменных
Мы можем переписать уравнение в виде:
- y' = -4y.
Теперь разделим переменные:
- dy/y = -4dx.
Шаг 3: Интегрирование обеих сторон
Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:
- ∫(1/y) dy = ∫(-4) dx.
Это дает нам:
- ln|y| = -4x + C,
где C - произвольная константа интегрирования.
Шаг 4: Преобразование к явному виду
Теперь мы можем решить это уравнение относительно y:
- |y| = e^(-4x + C) = e^C * e^(-4x).
Обозначим e^C как c₁ (постоянная), тогда:
- y = c₁e^(-4x).
Шаг 5: Вывод общего решения
Таким образом, общее решение уравнения y' + 4y = 0 имеет вид:
- y = c₁e^(-4x),
где c₁ - произвольная константа.
Теперь, если мы посмотрим на предложенные варианты ответов:
- y = c₁ + e²ˣ (неверно),
- y = c₁e²ˣ + c₂e²ˣ (неверно),
- y = c₁cos2x + c₂sin2x (неверно).
Таким образом, правильный ответ не представлен в предложенных вариантах. Общее решение уравнения y' + 4y = 0 - это y = c₁e^(-4x).