Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx, x=3..8 равен …

• 1/2
• 7/5
• 32/3

Другие предметы Университет Определенный интеграл определенный интеграл высшая математика университет интегралы математический анализ решение интегралов интеграл от x интеграл от корня учебные задачи подготовка к экзаменам Новый

Чтобы найти определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx на интервале от 3 до 8, мы начнем с нахождения неопределенного интеграла функции x / √(1 + x).

Шаг 1: Используем метод подстановки. Пусть u = 1 + x. Тогда du = dx, и x = u - 1. Теперь, когда мы выразили x через u, подставим в интеграл:

• dx = du
• √(1 + x) = √u
• Таким образом, x = u - 1.

Теперь подставим все это в интеграл:

∫ (x / √(1 + x)) dx = ∫ ((u - 1) / √u) du = ∫ (u / √u - 1 / √u) du = ∫ (√u - u^(-1/2)) du.

Шаг 2: Найдем неопределенный интеграл:

∫ (√u) du = (2/3) u^(3/2) + C,

∫ (u^(-1/2)) du = 2u^(1/2) + C.

Теперь объединим результаты:

∫ (√u - u^(-1/2)) du = (2/3) u^(3/2) - 2u^(1/2) + C.

Шаг 3: Подставим обратно u = 1 + x:

Таким образом, наш интеграл становится:

(2/3)(1 + x)^(3/2) - 2(1 + x)^(1/2) + C.

Шаг 4: Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от 3 до 8:

∫ (x / √(1 + x)) dx от 3 до 8 = [(2/3)(1 + 8)^(3/2) - 2(1 + 8)^(1/2)] - [(2/3)(1 + 3)^(3/2) - 2(1 + 3)^(1/2)].

Шаг 5: Вычислим значения:

• Для x = 8: (1 + 8) = 9, (1 + 8)^(3/2) = 27, (1 + 8)^(1/2) = 3.
• Для x = 3: (1 + 3) = 4, (1 + 3)^(3/2) = 8, (1 + 3)^(1/2) = 2.

Теперь подставим эти значения в наш интеграл:

[(2/3)(27) - 2(3)] - [(2/3)(8) - 2(2)] = [(18 - 6) - (16/3 - 4)] = [12 - (16/3 - 12/3)] = [12 - 4/3] = [36/3 - 4/3] = 32/3.

Таким образом, определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx от 3 до 8 равен 32/3.