Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы.
7x+3y=5
3x+7y=5

• расходится
• сходится

Другие предметы Университет Методы решения линейных систем метод простой итерации линейная система 7x+3y=5 3x+7y=5 сходится расходится вычислительные методы университет Новый

Для того чтобы определить, как ведет себя метод простой итерации для данной линейной системы, сначала запишем ее в стандартной форме:

Система уравнений:

• 7x + 3y = 5
• 3x + 7y = 5

Теперь мы можем выразить переменные x и y через итерационные формулы. Для этого преобразуем каждое уравнение:

• x = (5 - 3y) / 7
• y = (5 - 3x) / 7

Теперь запишем итерационные формулы:

• x_n+1 = (5 - 3y_n) / 7
• y_n+1 = (5 - 3x_n) / 7

Следующий шаг — это анализ сходимости метода простой итерации. Для этого мы можем использовать условие сходимости, основанное на матрице итерационного процесса. Сначала представим систему в виде векторного уравнения:

Вектор X = (x, y) и вектор F(X) = ( (5 - 3y) / 7, (5 - 3x) / 7 ).

Теперь найдем якобиан (матрицу производных) данной системы:

• ∂F₁/∂x = 0
• ∂F₁/∂y = -3/7
• ∂F₂/∂x = -3/7
• ∂F₂/∂y = 0

Таким образом, матрица Якоби J будет выглядеть следующим образом:

• J = | 0 -3/7 |
• | -3/7 0 |

Теперь найдем собственные значения матрицы J. Для этого решим характеристическое уравнение det(J - λI) = 0, где I — единичная матрица:

После вычислений мы получим собственные значения λ₁ и λ₂. Если модуль каждого из этих значений меньше 1 (|λ| < 1), то метод будет сходиться. Если хотя бы одно из значений больше 1, то метод будет расходиться.

В данном случае, после нахождения собственных значений, мы можем сделать вывод о сходимости или расходимости метода простой итерации для данной линейной системы. Если вы выполните все вычисления, вы сможете определить, будет ли метод сходиться или расходиться.

Таким образом, основное внимание следует уделить нахождению собственных значений матрицы Якоби и проверке их модулей для окончательного вывода о сходимости метода простой итерации.