Метод простой итерации является одним из методов численного решения линейных систем уравнений. Чтобы понять, как он ведет себя, необходимо рассмотреть несколько ключевых аспектов, связанных с его сходимостью и расходимостью.

• Метод основан на преобразовании системы уравнений в итерационную форму.
• Сначала мы приводим систему Ax = b к форме x = Gx + c, где G - матрица итерации, а c - вектор свободных членов.
• Итерационный процесс заключается в последовательном вычислении x(n+1) = Gx(n) + c.

• Метод простой итерации будет сходиться, если матрица G является строго диагонально доминирующей или если ее спектр (множество собственных значений) находится внутри единичной окружности.
• Это означает, что для всех собственных значений λ матрицы G выполняется условие |λ| < 1.
• В общем случае, если ||G|| < 1, где ||.|| - операторная норма, метод также будет сходиться.

Рассмотрим систему Ax = b, где A - это матрица, которая удовлетворяет условиям сходимости. Если мы можем найти такую матрицу G, что |λ| < 1 для всех собственных значений, то метод будет сходиться.

• Если матрица G не удовлетворяет условиям сходимости, то метод может расходиться.
• Например, если хотя бы одно собственное значение λ матрицы G удовлетворяет условию |λ| ≥ 1, итерации могут не сходиться.
• Также, если матрица A является вырожденной, это может привести к расходимости метода.

Таким образом, чтобы определить, будет ли метод простой итерации сходиться или расходиться для конкретной линейной системы, необходимо проанализировать матрицу итерации G. Если она удовлетворяет условиям сходимости, метод будет работать эффективно. В противном случае, могут возникнуть проблемы с расходимостью.