Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы.

• сходится
• расходится

Другие предметы Университет Методы решения линейных систем метод простой итерации линейная система сходимость расходятся вычислительные методы анализ методов численные методы математическое моделирование Новый

Метод простой итерации является одним из методов численного решения линейных систем уравнений. Чтобы понять, как он ведет себя, необходимо рассмотреть несколько ключевых аспектов, связанных с его сходимостью и расходимостью.

1. Основная идея метода простой итерации:

• Метод основан на преобразовании системы уравнений в итерационную форму.
• Сначала мы приводим систему Ax = b к форме x = Gx + c, где G - матрица итерации, а c - вектор свободных членов.
• Итерационный процесс заключается в последовательном вычислении x(n+1) = Gx(n) + c.

2. Условия сходимости:

• Метод простой итерации будет сходиться, если матрица G является строго диагонально доминирующей или если ее спектр (множество собственных значений) находится внутри единичной окружности.
• Это означает, что для всех собственных значений λ матрицы G выполняется условие |λ| < 1.
• В общем случае, если ||G|| < 1, где ||.|| - операторная норма, метод также будет сходиться.

3. Пример сходимости:

Рассмотрим систему Ax = b, где A - это матрица, которая удовлетворяет условиям сходимости. Если мы можем найти такую матрицу G, что |λ| < 1 для всех собственных значений, то метод будет сходиться.

4. Условия расходимости:

• Если матрица G не удовлетворяет условиям сходимости, то метод может расходиться.
• Например, если хотя бы одно собственное значение λ матрицы G удовлетворяет условию |λ| ≥ 1, итерации могут не сходиться.
• Также, если матрица A является вырожденной, это может привести к расходимости метода.

5. Заключение:

Таким образом, чтобы определить, будет ли метод простой итерации сходиться или расходиться для конкретной линейной системы, необходимо проанализировать матрицу итерации G. Если она удовлетворяет условиям сходимости, метод будет работать эффективно. В противном случае, могут возникнуть проблемы с расходимостью.