Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы.

• расходится
• сходится

Другие предметы Университет Методы решения линейных систем метод простой итерации линейная система сходимость расходимость вычислительные методы анализ методов численные методы математика университет алгоритмы оценка сходимости практическое применение Новый

Метод простой итерации является одним из численных методов, используемых для решения линейных систем уравнений. Чтобы понять, как он ведет себя, необходимо рассмотреть несколько ключевых моментов.

1. Основная идея метода простой итерации:

• Метод основан на преобразовании системы линейных уравнений в итерационную форму.
• Система уравнений Ax = b преобразуется в x = Gx + c, где G - матрица итерации, а c - вектор свободных членов.
• Итерационный процесс заключается в том, что мы начинаем с некоторого начального приближения x0 и последовательно вычисляем x1, x2 и так далее.

2. Условия сходимости:

• Метод простой итерации будет сходиться, если матрица G является сокращающей, т.е. если норма матрицы G меньше 1.
• Это условие обычно связано с собственными значениями матрицы A. Если все собственные значения имеют модуль меньше 1, то метод будет сходиться.

3. Примеры сходимости и расходимости:

• Если система имеет положительно определённую матрицу A, то метод с высокой вероятностью будет сходиться.
• Если матрица A вырождена или имеет собственные значения с модулем, равным или большим 1, метод может расходиться.

4. Практическое применение:

• Перед применением метода рекомендуется анализировать матрицу A и определять условия сходимости.
• Если метод не сходится, можно попробовать изменить начальное приближение или использовать другие методы, такие как метод Гаусса или метод Жордана.

В заключение, метод простой итерации для линейной системы может как сходиться, так и расходиться, в зависимости от свойств матрицы A. Важно всегда проверять условия сходимости перед применением метода.