Метод простой итерации — это один из численных методов, используемых для решения линейных систем уравнений. Чтобы понять, как он себя ведет, необходимо рассмотреть несколько ключевых моментов.

Метод простой итерации основан на преобразовании системы линейных уравнений в итерационную форму. Например, для системы Ax = b, где A — матрица коэффициентов, x — вектор неизвестных, а b — вектор свободных членов, мы можем выразить x как:

x = T(x) = Bx + c,

где T — оператор итерации, B — матрица, которая получается в результате разбиения A, а c — вектор, зависящий от b.

Метод простой итерации будет сходиться, если матрица B (которая определяется разбиением A) удовлетворяет следующим условиям:

• Собственные значения: Все собственные значения матрицы B должны находиться в круге радиуса 1, то есть их модули должны быть меньше 1.
• Сходимость: Если матрица A является строго диагонально доминирующей или симметричной положительно определенной, то метод, как правило, будет сходиться.

Рассмотрим систему уравнений:

• 2x + y = 1
• x + 3y = 1

Мы можем представить эту систему в виде:

• x = (1 - y)/2
• y = (1 - x)/3

Теперь мы можем использовать метод простой итерации для нахождения решения. Начнем с некоторого начального приближения (например, x0 = 0, y0 = 0) и будем итеративно обновлять значения x и y.

Чтобы проверить сходимость, вычислим собственные значения матрицы B, полученной из A. Если все собственные значения по модулю меньше 1, то метод будет сходиться к решению. Если хотя бы одно собственное значение больше 1, то метод может расходиться.

Таким образом, поведение метода простой итерации для линейной системы зависит от свойств матрицы коэффициентов. Если матрица удовлетворяет условиям сходимости, метод будет сходиться к решению. В противном случае, он может расходиться. Поэтому важно перед применением метода проверять эти условия.