Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы.

• сходится
• расходится

Другие предметы Университет Методы решения линейных систем метод простой итерации линейная система сходимость расходимость вычислительные методы университет анализ методов численные методы решение систем математические методы Новый

Метод простой итерации — это один из численных методов, используемых для решения линейных систем уравнений. Чтобы понять, как он себя ведет, необходимо рассмотреть несколько ключевых моментов.

1. Определение метода простой итерации:

Метод простой итерации основан на преобразовании системы линейных уравнений в итерационную форму. Например, для системы Ax = b, где A — матрица коэффициентов, x — вектор неизвестных, а b — вектор свободных членов, мы можем выразить x как:

x = T(x) = Bx + c,

где T — оператор итерации, B — матрица, которая получается в результате разбиения A, а c — вектор, зависящий от b.

2. Условия сходимости:

Метод простой итерации будет сходиться, если матрица B (которая определяется разбиением A) удовлетворяет следующим условиям:

• Собственные значения: Все собственные значения матрицы B должны находиться в круге радиуса 1, то есть их модули должны быть меньше 1.
• Сходимость: Если матрица A является строго диагонально доминирующей или симметричной положительно определенной, то метод, как правило, будет сходиться.

3. Примеры:

Рассмотрим систему уравнений:

• 2x + y = 1
• x + 3y = 1

Мы можем представить эту систему в виде:

• x = (1 - y)/2
• y = (1 - x)/3

Теперь мы можем использовать метод простой итерации для нахождения решения. Начнем с некоторого начального приближения (например, x0 = 0, y0 = 0) и будем итеративно обновлять значения x и y.

4. Анализ сходимости:

Чтобы проверить сходимость, вычислим собственные значения матрицы B, полученной из A. Если все собственные значения по модулю меньше 1, то метод будет сходиться к решению. Если хотя бы одно собственное значение больше 1, то метод может расходиться.

5. Заключение:

Таким образом, поведение метода простой итерации для линейной системы зависит от свойств матрицы коэффициентов. Если матрица удовлетворяет условиям сходимости, метод будет сходиться к решению. В противном случае, он может расходиться. Поэтому важно перед применением метода проверять эти условия.