Плоскости π₁ и π₂ заданы уравнениями 2x − y + 3z + 5 = 0 и x / 1 + y / −2 + z / 3 = 1. Определите угол φ между данными плоскостями.

• φ = arccos(9√14/12)
• φ = arccos(6√14/16)
• φ = arccos(3√14/14)

Другие предметы Университет Угол между плоскостями математика университет Угол между плоскостями уравнения плоскостей плоскости в пространстве вычисление угла между плоскостями Новый

Для нахождения угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями, необходимо использовать нормальные векторы этих плоскостей. Угловая мера между плоскостями определяется через скалярное произведение их нормальных векторов.

1. Определим нормальный вектор для первой плоскости π₁. Уравнение плоскости π₁: 2x − y + 3z + 5 = 0. Нормальный вектор N₁ будет составлен из коэффициентов при x, y и z:

• N₁ = (2, -1, 3)

2. Теперь найдем нормальный вектор для второй плоскости π₂. Уравнение плоскости π₂: x/1 + y/(-2) + z/3 = 1. Преобразуем его в стандартный вид:

• x - 2y + 3z - 1 = 0

Таким образом, нормальный вектор N₂ будет:

• N₂ = (1, -2, 3)

3. Теперь мы можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами:

cos(φ) = (N₁ · N₂) / (|N₁| |N₂|),

где N₁ · N₂ - скалярное произведение векторов, |N₁| и |N₂| - их длины.

4. Сначала найдем скалярное произведение:

• N₁ · N₂ = (2 * 1) + (-1 * -2) + (3 * 3) = 2 + 2 + 9 = 13.

5. Теперь найдем длины векторов:

• |N₁| = √(2² + (-1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14,
• |N₂| = √(1² + (-2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14.

6. Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:

cos(φ) = 13 / (√14 * √14) = 13 / 14.

7. Теперь мы можем найти угол φ:

φ = arccos(13 / 14).

Таким образом, правильный ответ не совпадает с предложенными вариантами. Убедитесь, что в условии задачи нет ошибок или опечаток, так как вычисления показывают, что угол между плоскостями равен arccos(13/14).