Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы равна 288. Найдите высоту цилиндра

• 48
• 24
• 12

Другие предметы Университет Геометрия четырехугольная призма цилиндр радиус основания площадь боковой поверхности высота цилиндра задача по математике университетская математика Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Определим параметры призмы и цилиндра.

• Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание.
• Цилиндр описан около этой призмы, значит, высота цилиндра равна высоте призмы.
• Радиус основания цилиндра равен 3.

2. Найдем сторону квадрата основания призмы.

Поскольку призма описана около цилиндра, то окружность, описанная вокруг квадрата, равна диаметру цилиндра. Диаметр цилиндра равен 2 * радиус = 2 * 3 = 6.

Сторона квадрата (s) связана с его диагональю (d) по формуле:

d = s * sqrt(2).

Так как диагональ квадрата равна диаметру окружности, мы можем записать:

s * sqrt(2) = 6.

Теперь выразим сторону квадрата:

s = 6 / sqrt(2) = 6 * sqrt(2) / 2 = 3 * sqrt(2).

3. Теперь найдем высоту призмы.

Площадь боковой поверхности призмы (S) равна произведению периметра основания на высоту (h):

S = P * h,

где P - периметр основания.

Периметр квадрата равен 4 * s:

P = 4 * (3 * sqrt(2)) = 12 * sqrt(2).

Теперь подставим периметр в формулу для площади боковой поверхности:

288 = (12 * sqrt(2)) * h.

4. Решим уравнение для h:

h = 288 / (12 * sqrt(2)) = 24 / sqrt(2) = 24 * sqrt(2) / 2 = 12 * sqrt(2).

Таким образом, высота цилиндра (которая равна высоте призмы) составляет:

h = 12 * sqrt(2).

5. Приблизительное значение высоты:

Если необходимо, можем вычислить приближенное значение:

sqrt(2) примерно равно 1.414, тогда:

h ≈ 12 * 1.414 ≈ 16.97.

Таким образом, высота цилиндра составляет 12 * sqrt(2) или примерно 16.97.