Давайте начнем с определения правых и левых наборов векторов, а затем перейдем к свойствам проекций.

Правый и левый наборы векторов

Правый набор векторов – это набор векторов, который образует правую систему координат. Левый набор – это набор векторов, образующий левую систему координат. Важно понимать, что порядок векторов в наборе имеет значение, так как это влияет на направление и ориентацию системы координат.

Правый ортонормированный базис

Правый ортонормированный базис – это набор векторов, который удовлетворяет двум условиям:

• Векторы взаимно ортогональны (скалярное произведение любых двух различных векторов равно нулю).
• Каждый вектор имеет единичную длину (норму).

Теперь перейдем к проекциям векторов.

Проекция вектора

Проекция вектора A на вектор B определяется как:

Proj_B(A) = (A · B / B · B) * B

где "·" обозначает скалярное произведение векторов.

Доказательство свойства проекции суммы векторов

Рассмотрим два вектора A и B. Нам нужно доказать, что проекция суммы векторов равна сумме проекций:

Proj_C(A + B) = Proj_C(A) + Proj_C(B)

Давайте вычислим проекцию суммы:

1. Сначала найдем проекцию A + B на вектор C:
2. Proj_C(A + B) = ((A + B) · C / C · C) * C
3. Раскроем скобки в числителе:
4. Proj_C(A + B) = ((A · C + B · C) / C · C) * C
5. Теперь разделим числитель на C · C:
6. Proj_C(A + B) = (A · C / C · C) * C + (B · C / C · C) * C
7. Это можно записать как:
8. Proj_C(A + B) = Proj_C(A) + Proj_C(B)

Таким образом, мы доказали, что проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

Доказательство свойства проекции произведения числа на вектор

Теперь докажем аналогичное свойство для произведения числа k на вектор A:

Proj_B(kA) = k * Proj_B(A)

1. Вычислим проекцию kA на вектор B:
2. Proj_B(kA) = (kA · B / B · B) * B
3. Теперь вынесем k за скобки:
4. Proj_B(kA) = k * (A · B / B · B) * B
5. Это можно записать как:
6. Proj_B(kA) = k * Proj_B(A)

Таким образом, мы также доказали, что проекция произведения числа на вектор равна произведению этого числа на проекцию вектора.

В заключение, мы рассмотрели правые и левые наборы векторов, правый ортонормированный базис и доказали два важных свойства проекций, которые являются основополагающими в линейной алгебре.