Радикальный признак Коши — это один из критериев сходимости числовых рядов. Он позволяет определить, сходится ли ряд, основываясь на пределах корней его членов. Давайте рассмотрим, как он формулируется и докажем его.

Формулировка радикального признака Коши:

• Ряд вида Σa_n (где n = 1 до бесконечности) сходится, если lim (n → ∞) (n-ый корень из |a_n|) < 1.
• Ряд расходится, если lim (n → ∞) (n-ый корень из |a_n|) > 1.
• Если lim (n → ∞) (n-ый корень из |a_n|) = 1, то признак не дает информации о сходимости ряда.

Доказательство:

Для доказательства радикального признака Коши воспользуемся определением сходимости ряда и свойствами пределов.

1. Предположим, что lim (n → ∞) (n-ый корень из |a_n|) < 1. Это означает, что существует число ε > 0, такое что для достаточно больших n выполняется неравенство:
• |a_n| < (1 - ε)^n.
2. Теперь рассмотрим частичную сумму S_N = Σa_n (где n = 1 до N). Используя неравенство, мы можем оценить S_N:
• Для N достаточно большого, S_N будет меньше, чем сумма геометрической прогрессии с первым членом a_1 и отношением (1 - ε).
• Сумма геометрической прогрессии сходится, и, следовательно, S_N будет ограничена.
3. Таким образом, ряд Σa_n сходится, так как его частичные суммы ограничены.

Теперь рассмотрим случай, когда lim (n → ∞) (n-ый корень из |a_n|) > 1. Это означает, что для достаточно больших n:

• |a_n| > (1 + ε)^n.

В этом случае частичные суммы S_N будут неограниченными, что приводит к расходимости ряда.

Таким образом, мы доказали, что радикальный признак Коши работает, и теперь мы знаем, как использовать его для определения сходимости рядов. Если предел корня меньше 1, ряд сходится; если больше 1, ряд расходится. Если равен 1, требуется дополнительный анализ.