Радикальный признак Коши — это критерий сходимости числовых рядов, который позволяет определить, сходится ли ряд, основываясь на поведении его членов. Давайте разберем его, а также приведем доказательство.

Формулировка радикального признака Коши: Пусть {a_n}— последовательность чисел. Если существует предел:

L = lim (n→∞) (n-th корень из |a_n|)

то:

• Если L < 1, то ряд Σa_n сходится.
• Если L > 1, то ряд Σa_n расходится.
• Если L = 1, то признак не дает информации о сходимости ряда.

Доказательство:

1. Предположим, что L < 1. Это означает, что для любого ε > 0 существует такое N, что для всех n > N выполняется:

(n-th корень из |a_n|) < 1 - ε.

2. Таким образом, для всех n > N имеем:

|a_n| < (1 - ε)^n.

3. Теперь рассмотрим ряд Σ (1 - ε)^n. Это геометрический ряд с первым членом a = 1 - ε и знаменателем q = 1 - ε, который сходится, так как |q| < 1.
4. По сравнению с этим рядом, мы имеем |a_n| < (1 - ε)^n, что означает, что ряд Σ |a_n| тоже сходится по признаку сравнения, следовательно, ряд Σ a_n сходится.

5. Теперь предположим, что L > 1. В этом случае, для любого ε > 0 существует такое N, что для всех n > N выполняется:

(n-th корень из |a_n|) > 1 + ε.

6. Следовательно, для всех n > N мы имеем:

|a_n| > (1 + ε)^n.

7. Ряд Σ (1 + ε)^n — это также геометрический ряд, который расходится, так как |1 + ε| > 1. Таким образом, ряд Σ |a_n| также расходится по признаку сравнения, и, следовательно, ряд Σ a_n расходится.

Таким образом, мы доказали радикальный признак Коши для сходимости и расходимости рядов.

В заключение, радикальный признак Коши является мощным инструментом для анализа сходимости рядов, и его применение может существенно упростить задачу. Если у вас есть вопросы или требуется больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!