Теорема Абеля — это важный результат в анализе, который касается сходимости рядов. Она утверждает, что если у нас есть ряд, который зависит от параметра, и этот ряд сходится для всех значений параметра, то при определенных условиях можно сделать вывод о сходимости этого ряда при предельном переходе.

Для формулировки теоремы Абеля, давайте сначала определим несколько понятий:

• Ряд: Сумма последовательности чисел, которая может быть конечной или бесконечной.
• Сходимость ряда: Ряд сходится, если сумма его членов стремится к определенному числу при увеличении числа членов.

Теперь сформулируем теорему:

Теорема Абеля: Пусть {a_n}— последовательность вещественных чисел, и существует предел A = lim (n → ∞) a_n. Пусть {b_n}— последовательность вещественных чисел, которая является последовательностью частичных сумм ряда:

1. Если {b_n}монотонно ограничена (то есть либо не возрастает, либо не убывает и ограничена сверху или снизу),

2. И если ряд Σ a_n сходится, то ряд Σ b_n тоже сходится.

Теперь перейдем к доказательству теоремы:

1. Условие монотонности: Предположим, что последовательность {b_n}монотонно не возрастает и ограничена снизу. Это означает, что существует число m, такое что b_n ≥ m для всех n.
2. Сходимость ряда: Поскольку ряд Σ a_n сходится, то его частичные суммы S_n = b_n. Это значит, что при n стремящемся к бесконечности S_n стремится к некоторому пределу S.
3. Предельный переход: Поскольку {b_n}монотонно не возрастает и ограничена снизу, по теореме о монотонной сходимости, {b_n}также сходится к некоторому пределу. Это означает, что lim (n → ∞) b_n = S.
4. Заключение: Таким образом, мы показали, что если ряд Σ a_n сходится и {b_n}ограничена и монотонна, то ряд Σ b_n тоже сходится.

Это и есть доказательство теоремы Абеля. Она полезна для анализа сходимости некоторых рядов и помогает в исследованиях функций, зависящих от параметров.