Рассмотрим данное дифференциальное уравнение второго порядка:

x'' - 2x' = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод характеристического уравнения, который часто применяется для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

1. Во-первых, предположим, что решение имеет вид x(t) = e^(rt), где r — это некоторое число, которое нам нужно найти.
2. Подставим x(t) = e^(rt) в уравнение x'' - 2x' = 0. Для этого сначала найдем первую и вторую производные:
• x'(t) = r * e^(rt)
• x''(t) = r^2 * e^(rt)
3. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

r^2 * e^(rt) - 2r * e^(rt) = 0

4. Вынесем общий множитель e^(rt):

e^(rt) * (r^2 - 2r) = 0

5. Поскольку e^(rt) никогда не равно нулю для любого значения t, решаем уравнение:

r^2 - 2r = 0

6. Разложим уравнение на множители:

r(r - 2) = 0

7. Из этого уравнения получаем два корня:
• r = 0
• r = 2
8. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет линейной комбинацией решений, соответствующих найденным значениям r:

x(t) = C1 * e^(0*t) + C2 * e^(2*t)

9. Упростим выражение:

x(t) = C1 + C2 * e^(2t)

Где C1 и C2 — произвольные константы, которые определяются из начальных условий задачи, если они заданы. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.