Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли

• 1) y' + y / (x + 2) = 2
• 2) y' + y / x = sinx / x
• 3) y' + y² / x
• 4) y' + y / x = e ⋅ y / x

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения уравнение Бернулли высшая математика университет математические методы решение уравнений анализ уравнений математические задачи теория дифференциальных уравнений Новый

Для того чтобы определить, какое из перечисленных дифференциальных уравнений является уравнением Бернулли, сначала напомним, что уравнение Бернулли имеет общий вид:

y' + P(x)y = Q(x)y^n

где P(x) и Q(x) - функции от x, а n - любое вещественное число, отличное от 0 и 1.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных уравнений:

1. y' + y / (x + 2) = 2

Это уравнение можно переписать в виде:

y' + (1 / (x + 2))y = 2

Здесь P(x) = 1 / (x + 2) и Q(x) = 2. Поскольку n = 0 (поскольку y не возводится в степень), это не уравнение Бернулли.

2. y' + y / x = sin(x) / x

Это уравнение можно переписать в виде:

y' + (1 / x)y = (sin(x) / x)

Здесь P(x) = 1 / x и Q(x) = sin(x) / x. Поскольку n = 1, это также не уравнение Бернулли.

3. y' + y² / x

Это уравнение можно переписать в виде:

y' + (1 / x)y² = 0

Здесь P(x) = 0 и Q(x) = 0, но у нас есть y², что соответствует n = 2. Это уравнение Бернулли с n = 2.

4. y' + y / x = e ⋅ y / x

Это уравнение можно переписать в виде:

y' + (1 - e / x)y = 0

Здесь P(x) = 1 - e / x и Q(x) = 0. Поскольку n = 1, это также не уравнение Бернулли.

Итак, из всех перечисленных уравнений, уравнением Бернулли является:

3) y' + y² / x