Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5

1. y = 3e⁻²ˣ + 2
2. y = e⁻²ˣ + 5
3. y = ln|C − 2x|
4. y = 5 − 2x

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение частное решение высшая математика университет начальное условие y(0) = 5 математический анализ решение уравнения методы решения математические задачи Новый

Для решения дифференциального уравнения y′ + 2y = 4 с начальными условиями y(0) = 5, мы будем использовать метод интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.

Уравнение имеет вид:

y′ + P(x)y = Q(x),

где P(x) = 2 и Q(x) = 4.

Интегрирующий множитель μ(x) вычисляется по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(∫2dx) = e^(2x).

Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.

Умножим всё уравнение на e^(2x):

e^(2x)y′ + 2e^(2x)y = 4e^(2x).

Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения.

Левая часть уравнения теперь может быть записана как производная:

(e^(2x)y)′ = 4e^(2x).

Шаг 4: Интегрируем обе стороны уравнения.

1. Интегрируем левую часть:
2. Интегрируем правую часть:

∫(e^(2x)y)′dx = ∫4e^(2x)dx.

Это дает:

e^(2x)y = 2e^(2x) + C,

где C - произвольная константа.

Шаг 5: Найдем y.

Теперь выразим y:

y = 2 + Ce^(-2x).

Шаг 6: Используем начальное условие.

Теперь подставим начальное условие y(0) = 5:

5 = 2 + Ce^(0),

5 = 2 + C.

Следовательно, C = 3.

Шаг 7: Запишем частное решение.

Теперь мы можем записать частное решение:

y = 2 + 3e^(-2x).

Ответ: Частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5, имеет вид:

y = 2 + 3e^(-2x).