Эйлеров граф — это такой граф, в котором существует эйлеров цикл, то есть цикл, проходящий через каждое ребро ровно один раз. Для того чтобы граф был эйлеровым, он должен удовлетворять следующим условиям:

• Граф должен быть связным, то есть из любой вершины должна быть возможность добраться до любой другой вершины.
• Степень каждой вершины должна быть четной.

Давайте рассмотрим, как определить, является ли граф эйлеровым, если он задан матрицей смежности:

1. Проверка связности: Убедитесь, что граф связный. Для этого можно использовать алгоритмы поиска в глубину (DFS) или поиска в ширину (BFS), чтобы проверить, достижима ли каждая вершина из любой другой.
2. Проверка четности степеней вершин: Для каждой вершины в графе посчитайте степень, то есть количество рёбер, инцидентных этой вершине. Это можно сделать, суммируя элементы в соответствующей строке или столбце матрицы смежности. Убедитесь, что степень каждой вершины четная.

Если оба условия выполнены, граф является эйлеровым.

Пример:

Рассмотрим следующую матрицу смежности:

0 1 1 0
1 0 1 1
1 1 0 1
0 1 1 0

Шаги проверки:

1. Проверка связности: Используя алгоритм DFS или BFS, можно убедиться, что все вершины связаны. Например, начиная с вершины 0, можно добраться до всех других вершин.
2. Проверка четности степеней вершин:
   • Вершина 0: степень = 2 (связана с вершинами 1 и 2).
   • Вершина 1: степень = 3 (связана с вершинами 0, 2 и 3).
   • Вершина 2: степень = 3 (связана с вершинами 0, 1 и 3).
   • Вершина 3: степень = 2 (связана с вершинами 1 и 2).
   В данном случае степени не всех вершин четные, следовательно, граф не является эйлеровым.

Таким образом, для определения эйлеровости графа необходимо проверить его связность и четность степеней всех вершин. Если у вас есть конкретная матрица, вы можете применить эти шаги к ней.