Для решения данного дифференциального уравнения, начнем с его записи в более удобной форме. Уравнение имеет вид:

(2x + 1)dy = y²dx = 0

Мы можем разделить это уравнение на две части:

1. (2x + 1)dy = 0
2. y²dx = 0

Теперь рассмотрим каждую из этих частей по отдельности.

1. Часть (2x + 1)dy = 0:

Эта часть уравнения равна нулю, когда либо (2x + 1) = 0, либо dy = 0. Рассмотрим первый случай:

• 2x + 1 = 0
• 2x = -1
• x = -1/2

Это указывает на особую точку, но не дает нам общего решения.

Теперь рассмотрим второй случай:

• dy = 0

Это означает, что y является постоянной величиной, но не дает нам информации о зависимости y от x.

2. Часть y²dx = 0:

Эта часть уравнения равна нулю, когда y² = 0, что означает, что:

• y = 0

Это также является частным решением, но нам нужно найти общее решение.

Теперь объединим информацию из обеих частей. Мы можем рассмотреть уравнение в виде:

dy/dx = y² / (2x + 1)

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Запишем его в виде:

dy / y² = dx / (2x + 1)

Теперь интегрируем обе стороны:

• Интеграл слева: ∫(1/y²) dy = -1/y
• Интеграл справа: ∫(1/(2x + 1)) dx = (1/2) ln|2x + 1|

Таким образом, после интегрирования мы получаем:

-1/y = (1/2) ln|2x + 1| + C

Теперь решим это уравнение относительно y:

• 1/y = - (1/2) ln|2x + 1| - C
• y = -1 / ((1/2) ln|2x + 1| + C)

Это выражение можно переписать в более удобной форме, чтобы получить общее решение:

y = 2 / (ln|2x + 1| + C)

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = 2 / (ln|2x + 1| + C)