Векторное произведение - это операция, которая применяется к двум векторам в трехмерном пространстве и дает вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Давайте разберем основные свойства векторного произведения, такие как антисимметричность и линейность, а также как выразить векторное произведение через координаты векторов в ортонормированном базисе.

1. Определение векторного произведения:

Для двух векторов A и B, обозначаемых как A = (A1, A2, A3) и B = (B1, B2, B3), векторное произведение A × B определяется следующим образом:

A × B = (A2 * B3 - A3 * B2, A3 * B1 - A1 * B3, A1 * B2 - A2 * B1).

2. Антисимметричность:

Векторное произведение обладает свойством антисимметричности, что означает:

• A × B = - (B × A).

Это свойство можно проиллюстрировать на примере. Если вы поменяете местами векторы A и B, то знак векторного произведения изменится на противоположный.

3. Линейность:

Векторное произведение линейно по каждому из векторов. Это значит, что если у нас есть два вектора A и B и скаляры k и m, то выполняются следующие свойства:

• (k * A) × B = k * (A × B),
• A × (m * B) = m * (A × B),
• (A + B) × C = A × C + B × C.

Таким образом, векторное произведение сохраняет линейные комбинации векторов.

4. Выражение через координаты векторов в ортонормированном базисе:

В ортонормированном базисе векторы A и B могут быть представлены как:

• A = (A1, A2, A3),
• B = (B1, B2, B3).

Тогда векторное произведение A × B можно вычислить по формуле, указанной выше. Результат будет новым вектором, координаты которого можно записать как:

• (A2 * B3 - A3 * B2),
• (A3 * B1 - A1 * B3),
• (A1 * B2 - A2 * B1).

Таким образом, мы рассмотрели основные свойства векторного произведения, его антисимметричность и линейность, а также как выразить его через координаты векторов в ортонормированном базисе. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!