Верно ли, что если (в данной области) ротор векторного поля равен нулю, то поле потенциально?

• Нет
• Да

Другие предметы Университет Векторный анализ математический анализ ротор векторного поля потенциальное поле свойства ротора векторные поля теорема о роторе анализ векторных полей условия потенциальности поля Новый

Да, это верное утверждение. Давайте разберем его подробнее.

Если ротор векторного поля равен нулю в данной области, это означает, что поле является консервативным. Рассмотрим следующие шаги:

1. Определение ротора: Ротор векторного поля A, обозначаемый как rot A или ∇ × A, представляет собой вектор, который показывает, насколько поле закручивается вокруг заданной точки. Если ротор равен нулю, это говорит о том, что поле не имеет вихрей и не закручивается.
2. Связь с потенциальным полем: Векторное поле называется потенциальным, если оно может быть представлено в виде градиента некоторой скалярной функции φ, то есть A = ∇φ. Если поле потенциально, то его ротор будет равен нулю.
3. Обратное утверждение: Если ротор векторного поля равен нулю в связной области, то по теореме о консервативных полях, это поле является потенциальным. То есть, существует такая скалярная функция φ, что A = ∇φ.
4. Условия: Важно отметить, что это утверждение верно в связной области. Если область не связная, то наличие нулевого ротора не гарантирует существование потенциальной функции.

Таким образом, если в данной области ротор векторного поля равен нулю, то можно утверждать, что это поле потенциально, при условии, что область связная.