Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ √(4 − 5x)dx на промежутке от x = -12 до x = -1, следуем следующим шагам:

1. Определим первообразную функции √(4 - 5x). Для этого воспользуемся методом подстановки.
2. Пусть u = 4 - 5x. Тогда, производная u по x равна du/dx = -5, или du = -5dx, откуда dx = -1/5 du.
3. Теперь подставим u в интеграл:
• √(4 - 5x) = √u,
• dx = -1/5 du.
4. Интеграл преобразуется в:

∫ √u (-1/5 du) = -1/5 ∫ √u du.

5. Теперь вычислим интеграл ∫ √u du. Зная, что ∫ u^(1/2) du = (2/3) u^(3/2) + C, получаем:

-1/5 * (2/3) u^(3/2) + C = -2/15 u^(3/2) + C.

6. Подставим обратно u = 4 - 5x:

F(x) = -2/15 (4 - 5x)^(3/2) + C.

7. Теперь вычислим определенный интеграл от -12 до -1:

∫ (от -12 до -1) √(4 - 5x) dx = F(-1) - F(-12).

8. Вычислим F(-1):

F(-1) = -2/15 (4 - 5*(-1))^(3/2) = -2/15 (4 + 5)^(3/2) = -2/15 (9)^(3/2) = -2/15 * 27 = -54/15 = -18/5.

9. Теперь вычислим F(-12):

F(-12) = -2/15 (4 - 5*(-12))^(3/2) = -2/15 (4 + 60)^(3/2) = -2/15 (64)^(3/2) = -2/15 * 512 = -1024/15.

10. Теперь подставим значения в определенный интеграл:

∫ (от -12 до -1) √(4 - 5x) dx = F(-1) - F(-12) = (-18/5) - (-1024/15).

11. Приведем дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель для 5 и 15 равен 15. Приведем -18/5 к знаменателю 15:

-18/5 = -54/15.

12. Теперь вычисляем:

-54/15 + 1024/15 = (1024 - 54)/15 = 970/15.

13. Итак, ответ: ∫ √(4 − 5x)dx от x = -12 до x = -1 = 970/15.

Таким образом, окончательный ответ: 970/15.