Похожие вопросы
2025-05-14 03:46:46
Вычислите определенный интеграл ∫ 2xdx / √(16 + x²), при x = 0..3
- 2
- 2/5
- 1 1/5
Другие предметы Университет Определенный интеграл определенный интеграл высшая математика университет интегралы вычисление интегралов интеграл от 2x математика для студентов математический анализ учебные задачи примеры интегралов
2025-05-14 03:47:00
Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (2x / √(16 + x²)) dx от 0 до 3, мы начнем с применения метода подстановки.
Шаг 1: Подстановка
Для удобства мы можем использовать подстановку:
- Пусть u = 16 + x². Тогда, дифференцируя, получаем du = 2x dx.
- Поскольку мы имеем 2x dx в интеграле, это удобно. Теперь нам нужно выразить x через u:
- x = √(u - 16).
Шаг 2: Изменение пределов интегрирования
Теперь изменим пределы интегрирования:
- Когда x = 0, u = 16 + 0² = 16.
- Когда x = 3, u = 16 + 3² = 16 + 9 = 25.
Шаг 3: Переписываем интеграл
Теперь наш интеграл принимает следующий вид:
∫ (1 / √u) du от 16 до 25.
Шаг 4: Вычисление интеграла
Интеграл (1 / √u) du равен 2√u. Теперь подставим пределы:
2√u | от 16 до 25 = 2√25 - 2√16.
Теперь вычислим это:
- 2√25 = 2 * 5 = 10.
- 2√16 = 2 * 4 = 8.
Таким образом, получаем:
10 - 8 = 2.
Ответ: Значение определенного интеграла ∫ (2x / √(16 + x²)) dx от 0 до 3 равно 2.
