Вычислите определенный интеграл ∫ 2xdx / √(16 + x²), при x = 0..3

1. 2
2. 2/5
3. 1 1/5

Другие предметы Университет Определенный интеграл определенный интеграл высшая математика университет интегралы вычисление интегралов интеграл от 2x математика для студентов математический анализ учебные задачи примеры интегралов Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (2x / √(16 + x²)) dx от 0 до 3, мы начнем с применения метода подстановки.

Шаг 1: Подстановка

Для удобства мы можем использовать подстановку:

• Пусть u = 16 + x². Тогда, дифференцируя, получаем du = 2x dx.
• Поскольку мы имеем 2x dx в интеграле, это удобно. Теперь нам нужно выразить x через u:
• x = √(u - 16).

Шаг 2: Изменение пределов интегрирования

Теперь изменим пределы интегрирования:

• Когда x = 0, u = 16 + 0² = 16.
• Когда x = 3, u = 16 + 3² = 16 + 9 = 25.

Шаг 3: Переписываем интеграл

Теперь наш интеграл принимает следующий вид:

∫ (1 / √u) du от 16 до 25.

Шаг 4: Вычисление интеграла

Интеграл (1 / √u) du равен 2√u. Теперь подставим пределы:

2√u | от 16 до 25 = 2√25 - 2√16.

Теперь вычислим это:

• 2√25 = 2 * 5 = 10.
• 2√16 = 2 * 4 = 8.

Таким образом, получаем:

10 - 8 = 2.

Ответ: Значение определенного интеграла ∫ (2x / √(16 + x²)) dx от 0 до 3 равно 2.