Вычислите определенный интеграл ∫ cos(π/3 − x)dx, x=π/6..π/3

Другие предметы Университет Определенный интеграл математический анализ определенный интеграл вычисление интеграла интеграл cos интеграл от cos интеграл π/3 интеграл x=π/6 интеграл x=π/3 университет учебные материалы по математике Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ cos(π/3 − x) dx на интервале [π/6, π/3], следуем следующим шагам:

1. Найдём первообразную функции cos(π/3 − x). Для этого используем замену переменной. Пусть u = π/3 − x. Тогда du = -dx, и мы также изменим пределы интегрирования.
   • Когда x = π/6, u = π/3 - π/6 = π/6.
   • Когда x = π/3, u = π/3 - π/3 = 0.
2. Запишем интеграл в новой переменной: ∫ cos(u) (-du) = -∫ cos(u) du.
3. Теперь найдем первообразную для cos(u):
   • ∫ cos(u) du = sin(u) + C, где C - константа интегрирования.
4. Подставим обратно в интеграл: -∫ cos(u) du = -sin(u) + C.
5. Теперь подставим пределы интегрирования:
   • Когда u = 0: -sin(0) = 0.
   • Когда u = π/6: -sin(π/6) = -1/2.
6. Теперь вычислим определенный интеграл: ∫ cos(π/3 − x) dx от π/6 до π/3 = [0 - (-1/2)] = 1/2.

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ cos(π/3 − x) dx на интервале [π/6, π/3] равно 1/2.